ANOVA (Analysis of Variance) é uma técnica desenvolvida por Ronald Fisher para comparar médias de três ou mais grupos simultaneamente, testando se existe diferença significativa entre eles.
O nome pode parecer contraditório: o objetivo é comparar médias, mas a técnica analisa variâncias. A lógica é: se os grupos têm médias diferentes, a variabilidade entre grupos será maior do que a variabilidade dentro dos grupos.
Para comparar 4 grupos, seriam necessárias \(\binom{4}{2} = 6\) comparações. Com α = 0,05 por teste:
\[P(\text{pelo menos um falso positivo}) = 1 - (0{,}95)^6 \approx 0{,}265\]
A probabilidade de cometer pelo menos um erro tipo I salta para 26,5%. A ANOVA controla o erro tipo I globalmente, mantendo-o em 5%.
A variância total dos dados é decomposta em duas partes:
\[SS_{total} = SS_{entre} + SS_{dentro}\]
A estatística F é a razão entre os quadrados médios correspondentes:
\[F = \frac{MS_{entre}}{MS_{dentro}} = \frac{SS_{entre}/(k-1)}{SS_{dentro}/(N-k)}\]
Onde \(k\) é o número de grupos e \(N\) o total de observações. Sob H₀ (sem diferença entre grupos), \(F \approx 1\).
| Pressuposto | Como verificar | Solução se violado |
|---|---|---|
| Independência | Delineamento experimental | Garantir na coleta |
| Normalidade dos resíduos | Shapiro-Wilk, Q-Q plot | Log, raiz, Kruskal-Wallis |
| Homocedasticidade | Teste de Levene | ANOVA de Welch, transformação |
A independência das observações é o pressuposto mais crítico e o único que não pode ser corrigido estatisticamente. Deve ser garantido pelo delineamento experimental. Violações de normalidade e homocedasticidade têm soluções disponíveis; violação de independência invalida a análise.
Pergunta: existe diferença significativa na absorção de CO₂ entre plantas de Quebec e Mississippi?
anova_tipo <- aov(uptake ~ Type, data = CO2)
summary(anova_tipo) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Type 1 3366 3366 43.52 3.83e-09 ***
Residuals 82 6341 77
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1as.data.frame(summary(anova_tipo)[[1]]) |>
kable(digits = 4, caption = "ANOVA one-way - efeito da origem da planta")| Df | Sum Sq | Mean Sq | F value | Pr(>F) | |
|---|---|---|---|---|---|
| Type | 1 | 3365.534 | 3365.5344 | 43.5191 | 0 |
| Residuals | 82 | 6341.441 | 77.3346 | NA | NA |
Interpretação: o valor F elevado e o p-valor < 0,001 levam à rejeição de H₀. Há diferença significativa na absorção entre as duas origens.
Pergunta: como a origem e o tratamento afetam a absorção? Existe interação entre os dois fatores?
anova_completa <- aov(uptake ~ Type * Treatment, data = CO2)
summary(anova_completa) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Type 1 3366 3366 52.509 2.38e-10 ***
Treatment 1 988 988 15.416 0.000182 ***
Type:Treatment 1 226 226 3.522 0.064213 .
Residuals 80 5128 64
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1as.data.frame(summary(anova_completa)[[1]]) |>
kable(digits = 4, caption = "ANOVA two-way - efeitos principais e interação")| Df | Sum Sq | Mean Sq | F value | Pr(>F) | |
|---|---|---|---|---|---|
| Type | 1 | 3365.5344 | 3365.5344 | 52.5086 | 0.0000 |
| Treatment | 1 | 988.1144 | 988.1144 | 15.4164 | 0.0002 |
| Type:Treatment | 1 | 225.7296 | 225.7296 | 3.5218 | 0.0642 |
| Residuals | 80 | 5127.5971 | 64.0950 | NA | NA |
residuos <- residuals(anova_completa)
shapiro_res <- shapiro.test(residuos)
cat("Shapiro-Wilk nos resíduos - W:", round(shapiro_res$statistic, 4),
"| p-valor:", round(shapiro_res$p.value, 4), "\n")Shapiro-Wilk nos resíduos - W: 0.8816 | p-valor: 0 ggplot(data.frame(residuos), aes(sample = residuos)) +
stat_qq(color = "#4A6FA5", size = 2) +
stat_qq_line(color = "#224573", linewidth = 1) +
labs(title = "Q-Q Plot dos resíduos da ANOVA",
x = "Quantis teóricos",
y = "Resíduos",
caption = "Jennifer Luz Lopes | Café com R") +
theme_classic(base_size = 13) +
theme(plot.title = element_text(color = "#224573", face = "bold"))
levene_resultado <- car::leveneTest(uptake ~ Type * Treatment, data = CO2)
cat("Teste de Levene - F:", round(levene_resultado$`F value`[1], 4),
"| p-valor:", round(levene_resultado$`Pr(>F)`[1], 4), "\n")Teste de Levene - F: 1.4999 | p-valor: 0.2209 if (levene_resultado$`Pr(>F)`[1] > 0.05) {
cat("Conclusao: variâncias homogêneas (pressuposto atendido)\n")
} else {
cat("Conclusão: variâncias heterogêneas - usar ANOVA de Welch ou transformar dados\n")
}Conclusao: variâncias homogêneas (pressuposto atendido)medias_grupo <- CO2 |>
group_by(Type, Treatment) |>
summarise(
Media = mean(uptake),
EP = sd(uptake) / sqrt(n()),
.groups = "drop")
ggplot(medias_grupo,
aes(x = Type, y = Media, color = Treatment, group = Treatment)) +
geom_line(linewidth = 1.5) +
geom_point(size = 4) +
geom_errorbar(aes(ymin = Media - EP, ymax = Media + EP),
width = 0.1, linewidth = 1) +
scale_color_manual(values = c("#224573", "#6B4F4F"),
labels = c("Nao resfriada", "Resfriada")) +
labs(title = "Gráfico de interação: Type - Treatment",
subtitle = "Barras de erro: erro padrão da média",
x = "Origem da planta",
y = "Absorção média de CO₂ (μmol/m²s)",
color = "Tratamento",
caption = "Jennifer Luz Lopes | Café com R") +
theme_classic(base_size = 13) +
theme(plot.title = element_text(color = "#224573", face = "bold"),
legend.position = "bottom")
Linhas paralelas no gráfico de interação indicam ausência de interação: o efeito de um fator é o mesmo em todos os níveis do outro fator. Linhas que se cruzam ou divergem indicam interação: o efeito de um fator depende do nível do outro.
Após ANOVA significativa, o teste post-hoc identifica quais pares de grupos diferem entre si, controlando o erro tipo I para comparações múltiplas.
tukey_resultado <- TukeyHSD(anova_completa)
# Extraindo a interação
tukey_df <- as.data.frame(tukey_resultado$`Type:Treatment`)
tukey_df$Comparacao <- rownames(tukey_df)
kable(tukey_df |> select(Comparacao, diff, lwr, upr, `p adj`),
digits = 4,
caption = "Tukey HSD - comparações múltiplas (Type:Treatment)")| Comparacao | diff | lwr | upr | p adj | |
|---|---|---|---|---|---|
| Mississippi:nonchilled-Quebec:nonchilled | Mississippi:nonchilled-Quebec:nonchilled | -9.3810 | -15.8637 | -2.8982 | 0.0016 |
| Quebec:chilled-Quebec:nonchilled | Quebec:chilled-Quebec:nonchilled | -3.5810 | -10.0637 | 2.9018 | 0.4728 |
| Mississippi:chilled-Quebec:nonchilled | Mississippi:chilled-Quebec:nonchilled | -19.5190 | -26.0018 | -13.0363 | 0.0000 |
| Quebec:chilled-Mississippi:nonchilled | Quebec:chilled-Mississippi:nonchilled | 5.8000 | -0.6827 | 12.2827 | 0.0960 |
| Mississippi:chilled-Mississippi:nonchilled | Mississippi:chilled-Mississippi:nonchilled | -10.1381 | -16.6208 | -3.6554 | 0.0006 |
| Mississippi:chilled-Quebec:chilled | Mississippi:chilled-Quebec:chilled | -15.9381 | -22.4208 | -9.4554 | 0.0000 |
ggplot(tukey_df, aes(x = Comparacao, y = diff)) +
geom_point(size = 3, color = "#224573") +
geom_errorbar(aes(ymin = lwr, ymax = upr),
width = 0.25,
color = "#4A6FA5",
linewidth = 1) +
geom_hline(yintercept = 0,
linetype = "dashed",
color = "#6B4F4F",
linewidth = 0.8) +
coord_flip() +
labs(title = "Teste de Tukey HSD",
subtitle = "IC 95% para diferenças entre médias - cruzamento com zero = não significativo",
x = "Comparação",
y = "Diferença entre médias",
caption = "Jennifer Luz Lopes | Café com R") +
theme_classic(base_size = 12) +
theme(plot.title = element_text(color = "#224573", face = "bold"),
plot.subtitle = element_text(color = "#6B4F4F"))
Cada planta foi medida nas 7 concentrações, violando o pressuposto de independência da ANOVA tradicional. O modelo misto trata a planta como efeito aleatório, acomodando a correlação entre observações da mesma planta.
library(nlme)
modelo_misto <- nlme::lme(
uptake ~ Type * Treatment * conc,
random = ~1 | Plant,
data = CO2)
anova(modelo_misto) |>
kable(digits = 4, caption = "ANOVA do modelo misto - efeito aleatório por planta")| numDF | denDF | F-value | p-value | |
|---|---|---|---|---|
| (Intercept) | 1 | 68 | 1759.5333 | 0.0000 |
| Type | 1 | 8 | 95.1955 | 0.0000 |
| Treatment | 1 | 8 | 27.9492 | 0.0007 |
| conc | 1 | 68 | 68.6194 | 0.0000 |
| Type:Treatment | 1 | 8 | 6.3849 | 0.0354 |
| Type:conc | 1 | 68 | 6.2463 | 0.0149 |
| Treatment:conc | 1 | 68 | 0.9571 | 0.3314 |
| Type:Treatment:conc | 1 | 68 | 1.6677 | 0.2009 |
Quando as mesmas unidades experimentais são medidas em múltiplas condições (medidas repetidas), use sempre um modelo que reconheça essa estrutura (modelo misto, ANOVA de medidas repetidas). Ignorar a dependência entre observações produz erros padrão subestimados e p-valores inflados.